指数分布とは
指数分布は、ある事象が発生するまでの時間間隔や距離をモデル化するのに使われる連続確率分布で、$Exp(\lambda)$ と表します。$\lambda$ は分布のパラメータであり、事象が発生する速さを表します。大きな $\lambda$ の値は、事象が頻繁に発生することを意味します。
指数分布の例
- コールセンターの電話応答
コールセンターで次の電話がかかってくるまでの時間は、指数分布に従うことがよくあります。これにより、オペレーターの配置や待ち時間の管理が効率的に行えます。 - 機械の故障時間
工場の生産ラインで使用される機械が故障するまでの時間を指数分布でモデル化することで、保守スケジュールの最適化が可能になります。
確率密度関数
指数分布の確率密度関数は、以下のように表されます：
$\begin{align*}f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x, \lambda > 0\end{align*}$
期待値とその導出
指数分布の期待値は、以下のように表されます：
$\begin{align*}E[X] = \frac{1}{\lambda}\end{align*}$
実際に導出してみましょう。
$\begin{align*}
E[X] &= \int_{0}^{\infty}xf(x)dx\\
&= \int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&= \lambda\int_{0}^{\infty}xe^{-\lambda x}dx
\end{align*}$
ここからは部分積分をしていきます。
$\begin{align*}
&= \lambda\left(\left[-\frac{x}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}dx\right)\\
&= \lambda\left(\left[-\frac{1}{\lambda^2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}\right)\\
&= \lambda\frac{1}{\lambda^2}\\
&= \frac{1}{\lambda}
\end{align*}$
分散とその導出
指数分布の分散は、以下のように表されます：
$\begin{align*}V[X] = \frac{1}{\lambda ^2}\end{align*}$
実際に導出してみましょう。
まずは、$E[X^2]$ を求めます。
$\begin{align*}
E[X^2] &= \int_{0}^{\infty}x^2f(x)dx\\
&= \int_{0}^{\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&= \lambda\int_{0}^{\infty}x^2e^{-\lambda x}dx
\end{align*}$
部分積分を二回適用して計算していきます。
$\begin{align*}
&= \lambda\left(\left[-\frac{x^2}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty}-\frac{2x}{\lambda}e^{-\lambda x}dx\right)\\
&= \lambda\left(\frac{2}{\lambda}\int_{0}^{\infty}xe^{-\lambda x}dx\right)\\
&= 2\left(\left[-\frac{x}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty}-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}dx\right)\\
&= 2\left(\left[-\frac{1}{\lambda^2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}\right)\\
&= \frac{2}{\lambda^2}
\end{align*}$
よって、
$\begin{align*}
V[X] &= E[X^2]-E[X]^2\\
&= \frac{2}{\lambda^2}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\\
&= \frac{1}{\lambda ^2}
\end{align*}$
モーメント母関数とその導出
指数分布のモーメント母関数は、以下のように表されます：
$\begin{align*}
M(t) = E[e^{tX}] = \frac{\lambda}{\lambda-t}, \quad t < \lambda
\end{align*}$
実際に導出してみましょう。
$\begin{align*}
M(t) &= \int_{0}^{\infty}e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&= \lambda\int_{0}^{\infty}e^{x(t-\lambda)}dx\\
&= \lambda\left[\frac{e^{x(t-\lambda)}}{t-\lambda}\right]_{0}^{\infty}\\
&= \lambda\left[-\frac{e^{-x(\lambda-t)}}{\lambda-t}\right]_{0}^{\infty}\\
&= \lambda\left(\frac{1}{\lambda-t}\right)\\
&= \frac{\lambda}{\lambda-t}
\end{align*}$
指数分布の無記憶性
指数分布には無記憶性という性質があります。これは、ある時間 $t$ まで事象が発生していないとき、その後さらに追加の時間 $s$ が経っても事象が発生しない確率は、最初から $s$ まで事象が発生しない確率と同じになる性質です。具体的には次のように表されます：
$P(X \geq t + s | X \geq t) = P(X \geq s), \quad t, s \geq 0$
これは、指数分布の累積分布関数 $F(x) = P(X \leq x) = 1-e^{-\lambda x}$ から、$P(X \geq x) = 1-F(x) = e^{-\lambda x}$ となるため、
$\begin{align*}P(X \geq t + s | X \geq t) = \frac{e^{-\lambda(t + s)}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda s} = P(X \geq s)\end{align*}$
となることから分かります。
まとめ
指数分布は、待ち時間やイベントの発生間隔をモデル化する強力な分布です。シンプルな数式でありながら、実世界のさまざまな現象を効果的に説明できるため、ビジネスや工学、医療など多くの分野で広く活用されています。
