目次
離散一様分布
$X$：$1, 2, … , K$ を等しい確率でとる確率変数
$\begin{align*}P(X=i) = \frac{1}{K}\end{align*}$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = \frac{K + 1}{2}\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = \frac{K^2-1}{12}\end{align*}$
母関数：
$\begin{align*}G(s) = E[s^X] = \frac{s(1-s^K)}{K(1-s)}\end{align*}$
ベルヌーイ分布 $Bin(1, p)$
$X$：１もしくは０をとる確率変数
$p$：成功確率
$P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}$
期待値：
$E[X] = p$
分散：
$V[X] = p(1-p)$
母関数：
$G(s) = ps + (1-p)$
二項分布 $Bin(n, p)$
$X$：成功確率 $p$ のベルヌーイ試行（１または０の一方が起こる試行）を $n$ 回行った時の成功回数をとる確率変数
$P(X=x) = {}_{n}C_{x}\,p^x (1-p)^{n-x}$
期待値：
$E[X] = np$
分散：
$V[X] = np(1-p)$
母関数：
$G(s) = (ps + (1-p))^n$
超幾何分布 $HG(N, M, n)$
$X$：$M$ 個の赤玉、$N-M$ 個の白玉の合計 $N$ 個の玉が入った袋の中から非復元無作為抽出で取り出された $n$ 個のうちの赤玉の個数をとる確率変数
$\begin{align*}P(X=x) = \frac{{}_{M}C_{x} × {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_{N}C_{n}}\end{align*}$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = n\frac {M}{N}\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\end{align*}$
母関数：
複雑な表現になるため割愛
ポアソン分布 $Po(\lambda)$
$X$：非負整数値をとる確率変数
$\begin{align*}P(X=x) = \frac{\lambda ^x}{x!}e^{-\lambda}\end{align*}$
期待値：
$E[X] = \lambda$
分散：
$V[X] = \lambda$
母関数：
$G(s) = e^{\lambda(s-1)}$
幾何分布 $Geo(p)$
定義１
$X$：成功確率 $p$ のベルヌーイ試行を繰り返した時、初めて成功するまでに起こる失敗回数をとる確率変数
$P(X=x) = p(1-p)^x$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = \frac {1-p}{p}\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = \frac {1-p}{p^2}\end{align*}$
母関数：
$\begin{align*}G(s) = \frac{p}{1-(1-p)s}\end{align*}$
定義２
$X$：成功確率 $p$ のベルヌーイ試行を繰り返した時、初めて成功するまでに起こる試行回数をとる確率変数
$P(X=x) = p(1-p)^{x-1}$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = \frac {1}{p}\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = \frac {1-p}{p^2}\end{align*}$
母関数：
$\begin{align*}G(s) = \frac {ps}{1-(1-p)s}\end{align*}$
負の二項分布 $NB(r, p)$
$X$：成功確率 $p$ のベルヌーイ試行を繰り返した時、$r$ 回目の成功が起こるまでに起こった失敗回数をとる確率変数
$P(X=x) = {}_{x+r-1}C_{x}\,p^r (1-p)^x$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = \frac{r(1-p)}{p}\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}\end{align*}$
母関数：
$\begin{align*}G(s) = \left(\frac{p}{1-(1-p)s}\right)^r\end{align*}$
多項分布 $M(n; p_1, … , p_K)$
$X^{(j)}$：$1, … , K$ のいずれか１つが起こる試行を $n$ 回行う時、結果 $j$ が起こる回数をとる確率変数
$p_j$：結果 $j$ が起こる確率
$\begin{align*}P(X^{(1)} = x^{(1)}, …, X^{(K)} = x^{(K)}) = \frac {n!}{x^{(1)}!×…×x^{(K)}!}p_1^{x^{(1)}}×…×p_K^{x^{(K)}}\end{align*}$
期待値：
$E[X^{(j)}] = np_j$
分散：
$V[X^{(j)}] = np_j(1-p_j)$
共分散：
$Cov[X^{(j)}, X^{(i)}] = -np_jp_i$
母関数：
$G(s_1, …, s_K) = (p_1s_1 + … + p_Ks_K)^n$
