目次
自由度 $n$ のカイ二乗分布 $\chi^2(n)$
$\begin{align*}f(x) = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
期待値：
$E[X] = n$
分散：
$V[X] = 2n$
母関数：
$\begin{align*}M(t) = E[e^{tX}] = (1-2t)^{-\frac{n}{2}}\end{align*}$
自由度 $m$ 非心度 $\lambda$ の非心カイ二乗分布 $\chi^2(m, \lambda)$
$\begin{align*}f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(\lambda / 2)^j}{j!}e^{-\lambda /2}\frac{1}{\Gamma(\frac{m+2j}{2})2^\frac{m+2j}{2}}x^{\frac{m+2j}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
期待値：
$E[X] = m + \lambda$
分散：
$V[X] = 2(m + 2\lambda)$
母関数：
$\begin{align*}M(t) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(\lambda / 2)^j}{j!}e^{-\lambda /2} (1-2t)^{-\frac{m}{2}-j}\end{align*}$
自由度 $n$ の $t$ 分布 $t(n)$
$\begin{align*}f(x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n}\,\Gamma(\frac{n}{2})} \left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\end{align*}$
期待値：
$E[X] = 0\quad(n > 1)$
分散：
$\begin{align*}V[X] = \frac{n}{n-2}\quad(n > 2)\end{align*}$
母関数：
存在しない
特性関数：
表現が複雑なため割愛
自由度 $m$ 非心度 $\lambda$ の非心 $t$ 分布 $t(m, \lambda)$
$\begin{align*}f(x) = \frac{e^{-\frac{\lambda^2}{2}}}{\sqrt{\pi m}\,\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\Gamma(\frac{m + 1 + j}{2}) 2^{\frac{j}{2}} \lambda^j x^j}{\left(1 + \frac{x^2}{m}\right)^{\frac{m + 1 + j}{2}} j! m^{\frac{j}{2}}}\end{align*}$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = \lambda \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{\Gamma(\frac{m-1}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})}\quad(m>1)\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = \frac{m(1 + \lambda^2)}{m-2}-\frac{\lambda^2 m}{2} \frac{ \Gamma(\frac{m-1}{2})^2}{\Gamma(\frac{m}{2})^2}\quad(m>2)\end{align*}$
母関数：
存在しない
特性関数：
表現が複雑なため割愛
自由度 $(n_1, n_2)$ の $F$ 分布 $F(n_1, n_2)$
$\begin{align*}f(x) = \frac{n_1^\frac{n_1}{2} n_2^ \frac{n_2}{2}}{B(\frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2})}\frac{x^{\frac{n_1}{2}-1}}{(n_2 + n_1 x)^{\frac{n_1 + n_2}{2}}}\end{align*}$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = \frac{n_2}{n_2-2}\quad(n_2 > 2)\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = 2\left(\frac{n_2}{n_2-2}\right) ^ 2 \frac{n_1 + n_2-2}{n_1(n_2-4)}\quad(n_2 > 4)\end{align*}$
母関数：
存在しない
特性関数：
表現が複雑なため割愛
自由度 $(m_1, m_2)$ 非心度 $\lambda$ の非心 $F$ 分布 $F(m_1, m_2, \lambda)$
$\begin{align*}f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(\lambda / 2)^j}{j!}e^{-\lambda /2} \frac{m_1^{\frac{m_1}{2}+j}}{B(\frac{m_1}{2} + j, \frac{m_2}{2})m_2^{\frac{m_1}{2}+j}} \frac{x^{\frac{m_1}{2}+j-1}}{(1 + x \frac{m_1}{m_2})^{\frac{m_1 + m_2}{2} + j}}\end{align*}$
期待値：
$\begin{align*}E[X] = \frac{m_2 (m_1 + \lambda)}{m_1 (m_2-2)}\quad(m_2 > 2)\end{align*}$
分散：
$\begin{align*}V[X] = \frac{2m_2^2}{m_1^2} \frac{(m_1 + \lambda)^2 + (m_2-2)(m_1 + 2\lambda)}{(m_2-2)^2 (m_2-4)}\quad(m_2 > 4)\end{align*}$
母関数：
存在しない
特性関数：
表現が複雑なため割愛
