【確率分布】標本分布の基本情報

自由度 $n$ のカイ二乗分布 ${\chi }^2(n)$

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$\begin{array}{r}f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})2^{\frac{n}{2}}}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\end{array}$

期待値：
$E[X]=n$

分散：
$V[X]=2n$

母関数：
$\begin{array}{r}M(t)=E[e^{tX}]=(1-2t{)}^{-\frac{n}{2}}\end{array}$

自由度 $m$ 非心度 $\lambda$ の非心カイ二乗分布 ${\chi }^2(m,\lambda )$

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$\begin{array}{r}f(x)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda /2{)}^j}{j!}{e}^{-\lambda /2}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{m+2j}{2})2^{\frac{m+2j}{2}}}{x}^{\frac{m+2j}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\end{array}$

期待値：
$E[X]=m+\lambda$

分散：
$V[X]=2(m+2\lambda )$

母関数：
$\begin{array}{r}M(t)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda /2{)}^j}{j!}{e}^{-\lambda /2}(1-2t{)}^{-\frac{m}{2}-j}\end{array}$

自由度 $n$ の $t$ 分布 $t(n)$

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$\begin{array}{r}f(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$

期待値：
$E[X]=0(n>1)$

分散：
$\begin{array}{r}V[X]=\frac{n}{n-2}(n>2)\end{array}$

母関数：
存在しない

特性関数：
表現が複雑なため割愛

自由度 $m$ 非心度 $\lambda$ の非心 $t$ 分布 $t(m,\lambda )$

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$\begin{array}{r}f(x)=\frac{e^{-\frac{{\lambda }^2}{2}}}{\sqrt{\pi m}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{m+1+j}{2})2^{\frac{j}{2}}{\lambda }^j{x}^j}{{(1+\frac{x^2}{m})}^{\frac{m+1+j}{2}}j!m^{\frac{j}{2}}}\end{array}$

期待値：
$\begin{array}{r}E[X]=\lambda \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{m-1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2})}(m>1)\end{array}$

分散：
$\begin{array}{r}V[X]=\frac{m(1+{\lambda }^2)}{m-2}-\frac{{\lambda }^{2}m}{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{m-1}{2}{)}^2}{\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2}{)}^2}(m>2)\end{array}$

母関数：
存在しない

特性関数：
表現が複雑なため割愛

自由度 $(n_1,n_2)$ の $F$ 分布 $F(n_1,n_2)$

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$\begin{array}{r}f(x)=\frac{n_1^{\frac{n_1}{2}}{n}_2^{\frac{n_2}{2}}}{B(\frac{n_1}{2},\frac{n_2}{2})}\frac{x^{\frac{n_1}{2}-1}}{(n_2+n_{1}x{)}^{\frac{n_1+n_2}{2}}}\end{array}$

期待値：
$\begin{array}{r}E[X]=\frac{n_2}{n_2-2}(n_2>2)\end{array}$

分散：
$\begin{array}{r}V[X]=2{\left(\frac{n_2}{n_2-2}\right)}^2\frac{n_1+n_2-2}{n_1(n_2-4)}(n_2>4)\end{array}$

母関数：
存在しない

特性関数：
表現が複雑なため割愛

自由度 $(m_1,m_2)$ 非心度 $\lambda$ の非心 $F$ 分布 $F(m_1,m_2,\lambda )$

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$\begin{array}{r}f(x)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda /2{)}^j}{j!}{e}^{-\lambda /2}\frac{m_1^{\frac{m_1}{2}+j}}{B(\frac{m_1}{2}+j,\frac{m_2}{2})m_2^{\frac{m_1}{2}+j}}\frac{x^{\frac{m_1}{2}+j-1}}{(1+x\frac{m_1}{m_2}{)}^{\frac{m_1+m_2}{2}+j}}\end{array}$

期待値：
$\begin{array}{r}E[X]=\frac{m_2(m_1+\lambda )}{m_1(m_2-2)}(m_2>2)\end{array}$

分散：
$\begin{array}{r}V[X]=\frac{2m_2^2}{m_1^2}\frac{(m_1+\lambda {)}^2+(m_2-2)(m_1+2\lambda )}{(m_2-2{)}^2(m_2-4)}(m_2>4)\end{array}$

母関数：
存在しない

特性関数：
表現が複雑なため割愛