【確率分布】極値分布の基本情報

ガンベル分布

$\begin{array}{r}f(x)=\frac{1}{\theta }\exp (-\frac{x-\mu }{\theta })\exp (-\exp (-\frac{x-\mu }{\theta }))\end{array}$

期待値：
$E[X]=\mu +\gamma \theta$( $\gamma$ ：オイラー・マスケローニ定数)

分散：
$\begin{array}{r}V[X]=\frac{{\pi }^2{\theta }^2}{6}\end{array}$

母関数：
$\begin{array}{r}M(t)=\exp (\mu t)\mathrm{\Gamma }(1-\theta t)(t<\frac{1}{\theta })\end{array}$

フレシェ分布

$\begin{array}{r}f(x)=\frac{\alpha }{\theta }{\left(\frac{x-\mu }{\theta }\right)}^{-(1+\alpha )}\exp (-{\left(\frac{x-\mu }{\theta }\right)}^{-\alpha })\end{array}$

期待値：
$\begin{array}{r}E[X]=\mu +\theta \mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })(\alpha >1)\end{array}$

分散：
$\begin{array}{r}V[X]={\theta }^2(\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-{\left(\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })\right)}^2)(\alpha >2)\end{array}$

母関数：
$\alpha >k$ ならば $k$ 次モーメントが存在

ワイブル分布

$\begin{array}{r}f(x)=\frac{\alpha }{\theta }{\left(\frac{x}{\theta }\right)}^{\alpha -1}\exp (-{\left(\frac{x}{\theta }\right)}^{\alpha })\end{array}$

期待値：
$\begin{array}{r}E[X]=\theta \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{\alpha })\end{array}$

分散：
$\begin{array}{r}V[X]={\theta }^2(\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{\alpha })-{\left(\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{\alpha })\right)}^2)\end{array}$

母関数：
$\begin{array}{r}M(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(t\theta {)}^n}{n!}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{\alpha })\end{array}$